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线代笔记(1) 简单概念理解

矩阵线性变换

假设有一个矩阵乘法式:

通常的求解方式是经过公式

我们可以更直观地理解这个过程。

$ \begin{bmatrix}3& 1 \\ 1& 2 \end{bmatrix} $可以看做是坐标轴的变换,也就是说假设一开始的坐标轴由i-hat$ \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix} $和j-hat$ \begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix} $组成。那么

就可以表示为坐标轴上的点$(-1,2)$

现在我们进行矩阵的线性变换,i-hat的$ \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix} $和j-hat的$ \begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix} $现在变成了$ \begin{bmatrix}3 \\ 1 \end{bmatrix} $和$ \begin{bmatrix}1 \\ 2 \end{bmatrix} $ 。如下图:
坐标变换
那么原来i-j坐标上的$(-1,2)$现在就可以变换为新i-j坐标轴上的$(-1,3)$了
变换结果

那么整个过程$ \begin{bmatrix}a& b \\ c& d \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \end{bmatrix} $我们可以表述为:

行列式

矩阵的行列式的几何意义是矩阵对应的线性变换前后的面积比
如:
则进行了这个线性变换后面积比是原来的五倍.
如果$\det (\begin{bmatrix}a& b \\ c& d \end{bmatrix} )=0$,则代表线性变换之后图形的维度已经减少.

逆矩阵

当一个变换为满秩(rank)时, 则其有逆矩阵.
设一个二元矩阵为$A$ ,则其逆矩阵$A^{-1}$满足: $AA^{-1}= \begin{bmatrix}1& 0 \\ 0& 1 \end{bmatrix} $
我们可以这样理解: $A$是对矩阵举行了线性变换, 而$A^{-1}$是对矩阵进行了逆向的矩阵线性变换, 最后i-hat和j-hat变回了$ \begin{bmatrix}1 \\ 0 \end{bmatrix} $和$ \begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix} $
但是如果一个线性变换是非满秩的,也就是$\det(A)=0$时,矩阵维度减少,则无法还原这次线性变换了.

点积

存在两个维数相同的向量:$\vec v\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}$和$\vec w\begin{bmatrix}d\\e\\f\end{bmatrix}$的点积为:

几何意义上为将其中某个向量投影到另一个向量中,然后相乘.
且满足: